Contenidos Probabilidad - Azar Experimentos aleatorios
Objetivos
Que los alumnos recomiencen a introducirse en el tema de la probabilidad
Se familiaricen con el vocabulario propio del este contenido, para luego poder aplicarlo en las ejercitaciones y juegos posteriores.
Realicen diferentes experiencias de probabilidad y azar, para poder compararlas con las de sus compañeros y así encontrar similitudes para ampliar su propia experiencia. **
Introduciremos a los alumnos en la probabilidad con la siguiente situación. La idea es que lo piensen teniendo en cuenta lo que ellos predicen que sucederá.
| Al lanzar una moneda al aire, ¿qué crees que es más fácil obtener, cara o cruz? ****** | *** ***Respuesta: |
| Al lanzar un dado, ¿qué crees que es más fácil obtener, 3 ó 6? ****** | Respuesta:****** |
| Al extraer de una bolsa que contiene dos naranjas y dos manzanas, ¿qué crees que es más fácil que salga, una manzana o una naranja?****** | Respuesta:****** |
Analizaremos las respuestas de cada uno de los alumnos conjuntamente, las compararemos y aclararemos que un con estos problemas hemos trabajado la probabilidad.
¿Qué les parece que es la probabilidad? ¿En que situaciones de la vida nos chocaremos con esta? Enumeremos algunas.
*Realizaremos la siguiente actividad, donde se trabajará la probabilidad. Observa las siguientes bolsas: *
**
Si sacas una bola sin mirar de cada una de estas bolsas, ¿es igual obtener una bola verde? Explica cada caso. Se les pedirá que respondan con el siguiente lenguaje (para que puedan ir conociendo el lenguaje con el que se trabajará las siguientes clases): imposible, poco probable, bastante probable, seguro.
Al finalizar analizaremos las diferentes respuestas aportadas por cada alumno. Está claro que en A es imposible, en B es poco probable, en C es bastante probable, y en D es seguro que la bola extraída será verde. Copiaremos el siguiente cuadro recordatorio en las carpetas.
| *Un hecho o suceso de un experimento aleatorio es: * - ***Imposible******,**** si nunca ocurre.* - ***Seguro****, si siempre ocurre.* - ***Poco probable*****,*** si tenemos poca confianza de que ocurra.* - ***Bastante probable****, si tenemos mucha confianza de que ocurra.* |
Para finalizar plantearemos el siguiente problema. Este se realizará en grupos de a 5 alumnos, ya que se pueden alternar el lanzamiento de la moneda entre cada uno de los integrantes del grupo.
Pedro y Ana siempre para decidir quien maneja la bicicleta que los lleva hasta la escuela, tiran una moneda al aire .agarra una moneda y tírenla 50 veces anotando el resultado y compáralo con el de tus compañeros/as.
| *Nº de veces que ha salido cara a tu grupo* ** | |
| *Nº de veces que ha salido cruz a tu grupo* | |
| *Nº de veces que ha salido cara a otro grupo* | |
| *Nº de veces que ha salido cara a otro grupo.* |
Resultado de tu experiencia
Al finalizar la tirada de la moneda en cada grupo, anotarán los resultados en la tabla anterior, y posteriormente realizaremos la puesta en común sobre los resultados de los diferentes grupos, para poder llegar a una conclusión final, y obtener mas tiradas de monedas
* ¿Qué resultado, salir cara o cruz, ha ocurrido más veces? Compara tu resultado con tus compañeros, ¿les sale a todos los mismos datos que a ti? ¿Qué conclusiones obtienes? *
Objetivos
Que los alumnos reconozcan la diferencia entre experimentos aleatorios y deterministas
Puedan reconocer y determinan el espacio muestral en diferentes experimentos aleatorios propuestos.**
Recopilen, analicen, interpreten y presenten datos propuestos en situaciones problemáticas.
Puedan utilizar diversas estrategias relacionadas con el razonamiento estadístico.
*Puedan considerar que en ciertas ocasiones un determinado problema estadístico puede ser resuelto de maneras distintas. *
Puedan considerar la posibilidad de que las personas puedan arribar a conclusiones diferentes a partir de datos similares, si han planteado hipótesis distintas y han utilizado diferentes métodos de análisis.
* Estrategias didácticas *
Como situación de inicio de la clase se presentarán las siguientes situaciones:
¿Qué sucede si dejamos caer una piedra desde la ventana de un primer piso?
Si tiramos una moneda al aire, ¿saldrá cara o cruz?
Con los niños se analizará la diferencia entre situaciones en donde podemos predecir de antemano el resultado antes de que se realicen ya que en una misma situación ocurre siempre el mismo hecho: experimento determinista y situaciones en donde no se puede predecir el resultado ya que dependen del azar como en el caso de los experimentos aleatorios.
*Se les dirá a los alumnos que frente a los experimentos aleatorios si bien no podemos predecir el resultado sí podemos conocer las condiciones en las que el mismo se realiza lo que nos otorga información sobre los eventos posibles. *
Para esto es esencial conocer el espacio muestral de dicho experimento, es decir, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.
En el pizarrón se presentarán distintas situaciones estableciendo cuál es el espacio muestral en cada caso:
Al lanzar una moneda, el espacio muestral sale cara, sale cruz
Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral ej: sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6.
Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es: sale cara- cara, sale cara -cruz, sale cruz - cara, sale cruz -cruz.
Luego se les darán las siguientes situaciones problemáticas para que determinen el espacio muestral en cada caso:
Establece con dibujos el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:
a) Lanzar tres monedas.
Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral:
Sale CCC Sale CCX Sale CXC *Sale XCC *
Sale CXX Sale XCX Sale XXC Sale XXX
b) Extracción de dos pelotas de una bolsa que tiene cuatro pelotas blancas y tres negras.
Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:
Sale BB,
Sale BN,
Sale NN
c) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.
Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:
Los días pueden ser LLL,
Los días pueden ser LLN,
Los días pueden ser LNL,
Los días pueden ser NLL,
Los días pueden ser LNN,
Los días pueden ser NLN,
Los días pueden ser NNL,
*Los días pueden ser NNN. *
Luego se realiza una puesta en común de las resoluciones realizadas por los alumnos en cada situación, se analizan similitudes y diferencias entre los espacios muestrales de cada caso especificando si aumentan o no la cantidad de combinaciones o posibles situaciones al aumentar el espacio muestral de una situación.
Contenidos: Sucesos en la probabilidad Distintos tipos de sucesos.
Objetivos
Que los alumnos identifiquen los sucesos dentro de la proporcionalidad.
* Puedan diferenciar distintos sucesos. *
Vinculen la probabilidad con actividades de la vida cotidiana como es jugar a los dados. **
Analicen, interpreten y representen datos surgidos a partir de un juego.
Estrategias didácticas
*Como inicio se buscará recordar qué es la probabilidad según las clases anteriores, haciendo énfasis en la probabilidad simple. Se les dirá que la probabilidad es la posibilidad que un suceso suceda de una manera posible una cantidad determinada de veces en relación a una cantidad total de veces en donde ese suceso puede pasar. *
Luego se les dirá que para avanzar haremos un juego con dados. Para ello se dividirán en pequeños grupos de 3 o 4 alumnos.
*Cada alumno tendrá un cubo con seis dados. *
*La actividad consistirá en jugar a la generala pero buscando lograr determinados juegos con los dados. *
Juegos posibles:
1) Que nos salga el dos y algún otro número par.
2) Que nos salga un número mayor que 3 y salga un número impar.
*3) Que salga un número impar y salga el 2, 4 o 6. *
*Cada grupo hará anotará qué salio en cada tirada y a su vez cada uno contará qué juego logro armar. *
*Una vez realizado esto pasaremos a analizar la actividad, para ello les explicaré que hasta el momento habíamos estudiado la probabilidad con un suceso solo. Pero que en este juego de dados para armar un juego era necesario cumplir con varios sucesos a la vez. *
Para ello les propondré armar un cuadro en el pizarrón de los distintos tipos de sucesos que aparecieron en el jugo.
El armado del cuadro será mediante un dialogo con los alumnos buscando que identifiquen los sucesos a fin de poder explicar la relación entre estos por parte del docente.
*Comenzaremos por el 1. *
En este juego los sucesos se integran uno al otro debido a que el dos es par, por ende si sale dos ya se cumplen ambas condiciones, a esto le podemos llamar un suceso contenido en otro. (Dos está contenido en los pares).
*En el juego 2 las probabilidades de que sucedan ambos sucesos son iguales en tanto que hay tres de seis posibilidades para cumplir ambas condiciones. Es por ello que ambos sucesos (mayor que 3 e impar) son suceso iguales. *
*En el juego 3 ambos sucesos no pueden darse de manera conjuntan. En estos casos los sucesos son incompatibles, ya que no es posible obtener de un mismo dado un número impar y que salga otro par. *
| ** | *Tipo de suceso* | *Ejemplo* | *¿Por qué?* |
| *Juego 1* | *Suceso contenido en otro*** | *El dos **número impar* | *Porque un suceso se integra al otro* |
| *Juego 2* | *Sucesos iguales*** | *Mayor que tres e impar.* | *Porque ambos sucesos tienen la misma probabilidad de salir.* |
| *Juego 3* | *Sucesos **incompatibles* | *Número impar y número impar* | *Porque no es posible que ambos sucesos se puedan integrar. * |
***Una vez realizado el cuadro lo copiarán en su cuaderno. *
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Contenidos: Combinatoria. Distintos casos de combinatoria. Variación - Permutación - Combinación- Relación entre combinatoria y probabilidad
Objetivos
Que los alumnos se vean involucrados en situaciones que les permitan utilizar distintas formas de resolver ejercicios donde aparece la combinatoria.
Relacionen y utilicen todo aquello que han trabajado hasta aquí, principalmente los conocimientos adquiridos sobre el cálculo de probabilidades.
Analicen, interpreten y representen datos surgidos a partir de un juego.
Estrategias didácticas
Como inicio se plantearán a los alumnos situaciones problemáticas en las cuales la forma de resolverlas no se obtenga de un simple cálculo sino de la interpretación del planteamiento y de las distintas resoluciones que surjan de los chicos.
Estas situaciones plantean la búsqueda de posibles combinaciones entre sucesos totales, la utilización de los mismos y la cantidad de ellos que se utilizará.
"El papá, la mamá y sus tres hijos quieren sacarse una foto sentado uno al lado del otro. ¿Cuántas fotos diferentes deberán sacar si quieren aparecer en todas las posibles ubicaciones?
En un restaurante hay pan negro y pan blanco; jamón, queso y salame; mayonesa, Ketchup y salsa golf; lechuga y tomate. ¿Cuántas combinaciones diferentes se pueden armar si se usa un tipo de pan, un tipo de salsa, solo una verdura y un fiambre?" Se tienen 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca, y se quiere calcular de cuántas maneras se pueden colocar 3 libros elegidos; entre los siete dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno.
Aquí las respuestas pueden obtenerse de diversas maneras. Los chicos deberán trabajar libremente en búsqueda de las soluciones. Una vez que todos hayan finalizado de resolver las actividades se realizará el intercambio de las formas de resolución que idearon. En caso de que los niños no lo hayan resuelto aplicando cuentas en base a los elementos la las combinaciones posibles, se comentará la posibilidad de llegar a u resultado realizando algunos cálculos teniendo en cuenta esas variantes.
Por ejemplo: Variación
Ejercicio 2. Se tienen 5 libros y solo 3 espacios en una biblioteca, y se quiere calcular de cuántas maneras se pueden colocar 3 libros elegidos; entre los siete dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno.
En un principio se puede elegir cualquiera de los 5 libros para ubicarlo en
Primer lugar Después quedan 4 libros posibles para colocar en el segundo lugar y por último solo 3 libros para el tercer lugar.
Por lo tanto las distintas maneras en que se pueden llenar los 3 huecos de la biblioteca es: 5.4.3 = 60
Si se tienen n libros y tres lugares es: n. (n - 1). (n - 2
Como desarrollo de la clase y con la finalidad de poner en práctica estos saberes, se organizarán distintos juegos , que vinculen los temas trabajados. Se llevará al aula todo el material necesario para simular esta actividad con los chicos y plantear las actividades durante los momentos de juego
Juego con cartas. Sentados en la mesa de juegos con cartas, nos vemos convocados a resolver dos actividades
1) La baraja de naipes cuenta con 52 cartas. Me entregan 4 cartas. Teniendo en cuenta que los grupos de cartas no pueden repetirse, ¿Cuántas combinaciones posibles de cartas hay dentro del grupo que me puede tocar?
2) Si son 13 cartas de cada palo. ¿Qué probabilidad hay de que me toque al menos una carta de corazones?
3) *Para ganar tendrán que tocarme cuatro cartas del mismo número. ¿Qué probabilidades hay de que esto suceda? *
4) ¿Cuántas combinaciones permite el caso anterior?
Juego de traga monedas. En este juego cada persona que participa debe hacer girar los rodillos con las distintas imágenes, 5 en total. El dispositivo cuenta con tres rodillos y para ganar deberán salir las 3 figuras iguales.
1) ¿Cuántas combinaciones posibles existen para esta actividad? (Teniendo en cuenta que las combinaciones pueden repetirse en cuanto a las imágenes ya que la ubicación en los rodillos varía).
2) Si sacara en los dos primeros rodillos la misma imagen, y resta que se detenga el tercero, ¿Qué probabilidades tengo de que salgan las tres iguales?
3) Si probara tirar 20 veces los rodillos ¿Tendría más o menos posibilidades de ganar? ¿Cuál sería la probabilidad de que salieran las 3 imágenes iguales?
Juego de la ruleta. En este caso entran en participación las fichas que puedo utilizar como otro punto para el análisis desde la propuesta matemática.
1) Para jugar en este sector, debo adquirir fichas. Voy a utilizar dos tres colores para apostar y tengo para elegir entre 8 colores diferentes (rojo, azul, amarillo, verde, naranja, negro, blanco, celeste). ¿Cuántas combinaciones distintas de colores puedo llegar a tener?
2) En el paño de la ruleta hay 37 números si incluimos al cero. Voy a utilizar en la primera mano 10 fichas con las cuales intentaré acertar el número. ¿Qué probabilidades tengo de acertar?
3) En la segunda mano aposté a todos los números pares mayores que 17. ¿Qué probabilidades existen de que acierte?
4) Teniendo en cuenta la apuesta de la mano anterior, si saliera un número par, sin saber precisamente de cual se trate ¿Cuáles serían ahora las probabilidades de que gane la apuesta?
Como cierre de la actividad se analizarán los distintos casos y se detendrá en el caso de los ejercicios de combinatoria para analizar las diferentes formas que hallaron para resolverlos y se planteará a los chicos la posibilidad que existe de obtener la resolución de esta actividad aplicando una fórmula concreta
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Conclusiones
*Partiendo de la certeza de que el tratamiento del azar en la escuela es mejorable, creemos que para que esta mejora tenga lugar ha de partirse de los primeros conocimientos o primeras intuiciones que, desde su más primera edad, tienen los alumnos/niños sobre el azar. *
*Es nuestra creencia que algunas actividades experimentales y algunos juegos son buenos catalizadores para progresar en la construcción del aprendizaje probabilístico en la enseñanza primaria. *
Como sucede en algunas situaciones, los maestros somos los que tenemos la última palabra, y -por esto- nos preguntamos: ¿es necesario empezar a construir el conocimiento probabilístico en la escuela?
En la enseñanza obligatoria está todo más globalizado, más difuminado y no se entienden determinados conceptos sin el contexto al que van ligados. Éste es un hecho que debemos tener presente para construir este conocimiento.
Bibliografía
Camus, Massara: "Matemática 3 ".Editorial Aique.
Izcovuch, H."Matemática M.9" Ed. Tinta Fresca.
Rey, M.E.,"Didáctica de la Matemática, tercer ciclo". Ed. Estrada
* Diseño curricular Segudo ciclo.- GCBA. Diseño de currícula *
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