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La Multiplicación

Bastante más que las tablas de multiplicar.

La enseñanza de la multiplicación, al igual que las otras operaciones requiere de tiempo. Es una enseñanza a largo plazo. Los conocimientos deben ir construyéndose apoyándose en los que se han construido antes. Los niños no saben multiplicar simplemente porque recuerden las tablas. Es cierto que recordar los productos ayuda a resolver más rápido un cálculo, pero no indica que se comprenda qué es y para qué sirve la multiplicación. Su enseñanza va más allá de los algoritmos. La enseñanza tradicional pone el énfasis en la cuenta que soluciona un problema. El objetivo es la aplicación de un algoritmo. No se dedica el tiempo necesario para el análisis y la reflexión sobre los distintos significados de las operaciones, en este caso la multiplicación. Cuándo es solución e un `problema y cuándo no. Por qué es conveniente este procedimiento y no otro. De no existir este análisis se cae en la enseñanza de los problemas como una simple aplicación de los cálculos y no aporta mucho al aprendizaje.

Los tipos de problemas que se pueden resolver multiplicando son variados y no se aprenden en un solo año de escolaridad. Lo más habitual es que la escuela se haga cargo de analizar a la multiplicación como una “suma abreviada” de una cierta cantidad de números iguales. En este punto es importante señalar que la frase que suele escucharse habitualmente es que “la multiplicación es una suma abreviada”, dando por sobreentendido que se trata de números iguales. Los niños no tienen por qué saber que para poder expresar esa suma como un producto, los números a sumar tienen que ser los mismos. Es más, un problema interesante consiste en presentar varias sumas (con sumandos iguales y diferentes) y pedir que escriban como producto aquellas que se pueda.

Para comprender qué es la multiplicación debemos tener en cuenta varios aspectos:

Los distintos significados de la multiplicación.

Suma repetida.

La enseñanza de la multiplicación comienza relacionándola con la adición repetida. Por ejemplo: Camila tiene 4 cajas con 6 paquetes de caramelos en cada caja. En las 4 cajas habrá 24 paquetes. Esto puede resolverse así. Sumando

1 caja  6 paquetes +
1 caja  6 paquetes +
1 caja  6 paquetes +
1 caja  6 paquetes +
---------------------------
4 cajas  24 paquetes,

Los dos números que aparecen en el problema tienen funciones diferentes. El 4 indica la cantidad de veces que se repite el número 6. El 4 es el multiplicador y el 6 el multiplicando. Muchos niños tienen problemas para comprender el concepto de multiplicación por desconocer la función que tienen los números que participan en ella. En la adición los sumandos tienen la misma función. Recuerdan que se vincula la adición con la multiplicación, pero al no comprender aún la diferencia, suman ambos números. 4 + 6.

Se evidencia así la necesidad de reconocer la función de ambos números para comprender cómo funciona la multiplicación. También para entender que en toda situación de contexto cotidiano la propiedad conmutativa de la multiplicación no se verifica. Es decir no es lo mismo 4 x 6 que 6 x 4. En al escuela se pone mucho énfasis en la “cuenta” y en el resultado y menos en la comprensión de la situación planteada, en la operación y su potencialidad. Problemas como los siguientes deberían ser tratados conjuntamente para poder notar las similitudes y diferencias que presentan.

Pablo compró para regalar 4 cajas de alfajores de chocolate y 6 cajas de alfajores de fruta. ¿Cuántas cajas de alfajores compró?
Mamá compró 4 cajas de alfajores de chocolate. Cada caja tiene 6 alfajores.¿Cuántos alfajores compró?

Otro de los significados de la multiplicación:

Proporcionalidad.

La relación de la proporcionalidad con la multiplicación permite descubrir regularidades numéricas en forma temprana, si pensamos en los niños de 2do. grado. Completar tablas como la siguiente: Completa la tabla sabiendo que en cada paquete hay 5 caramelos.

Es importante hacer notar que la consigna dice “en cada paquete hay 5 caramelos”. Esto permitirá al alumno que puede obtener la cantidad de caramelos que habrá en 8,3, 2 , etc paquetes. Los alumnos sumarán para poder obtener los resultados ya que aún no tienen disponible los productos en forma mental. Justamente el trabajo con estas situaciones y con la tabla pitagórica, permitirá recordarlos.

Las tablas de multiplicar.

Creer que si un alumno repite correctamente las tablas de multiplicar, sabe multiplicar es un error, o una ingenuidad. Puede decir las tablas y + no saber qué es la multiplicación. + Al resolver un problema seguir sumando, por ejemplo, 5 + 5 + 5 y no responder con el recuerdo del producto de la tabla.

Comprender cuáles son las distintas situaciones que se resuelven con la multiplicación lleva tiempo. Es un proceso que comienza en segundo grado y lleva todo la escolaridad primaria. Saber las tablas no implica saber multiplicar.

Tabla Pitagórica.

Es conveniente que los alumnos sean los que vayan completando la tabla. Comenzando por la columna del 2, 4 y 8. De esta manera se podrá analizar:

Si multiplicas la columna del 2 por 2, ¿qué obtienes? Si multiplicas la columna del 4 por 2. ¿Qué obtienes? ¿y si multiplicamos la del 2 por 4? Descubrir que 16 = 8 x 2 = 4 x 2 x 2, permitirá no solo comenzar a recordar los productos, sino a tener distintas estrategias para recuperar la información más allá de la suma reiterada que en algunos casos es costosa.

Obtén el resultado de multiplicar 2 x 3 y 3 x 2. ¿Qué observas?
Obtén el resultado de multiplicar 4 x 3 y 3 x 4. ¿Qué observas?
Si sumas los valores de la columna del 2 y los de la columna del 3, ¿qué obtienes?

Podrá escribir por ejemplo: 4 x 2 + 4 x 3 = 4 x 5

Si sumas los valores de la columna del 4 y los de la columna del 3, ¿qué obtienes? ¿Cuáles son las columnas que puedes vincular para obtener la columna del 9? ¿Sólo hay una posibilidad?

Con la tabla vacía: ¿Cómo puedes usar la comuna del 3 para completar la del 6? ¿Cómo puedes usar la comuna del 2 para completar la del 6?

No solo se trabaja con la tabla para recordar resultados de productos, es importante que el alumno analice las regularidades y pueda escribir simbólicamente lo que observa. De esta forma se va introduciendo, poco a poco en el álgebra a partir de la aritmética.

Otro de los significados de la multiplicación:

Disposiciones rectangulares.

Permiten “contar” más rápidamente una serie de objetos. Por ejemplo.

  • La cantidad de bolitas es la misma en ambas figuras. Es más sencillo contar la cantidad en la fig 2 que en el fig 1. La disposición rectangular lo permite.

Escribe en forma multiplicativa la cantidad de rectángulos que hay.

Escribe en forma multiplicativa la cantidad de rectangulitos sombreados.

Puede observarse que la consigna indica “escribe” ya que lo que importa son las distintas expresiones simbólicas que surgen y no la cantidad de rectángulos. Resultado que los alumnos podrían encontrar contando. 17 x 2 + 8 = 3 x 8 + 9 x 2

3 x 4 x 2 + 2 x 2 = 8 x 2 + 3 x 2 x 2

Puede haber otras,

Aquí se borraron parte de los rectángulos. ¿puedes saber cuántos había?

O problemas del tipo

El panel de anuncios de la escuela tiene: 9 filas con 25 carteles cada una. ¿Cuántos carteles hay?
Se quieren colocar 445 cerámicos en un piso de forma rectangular. En cada fila entran 15 cerámicos. ¿Es verdad que se van a colocar 30 filas?

Cuarto significado de la multiplicación:

Combinatoria

En la heladería hay tres helados de fruta: frutilla, limón, ananá, y dos de dulce: leche y chocolate.
“Voy a comprarme un helado de dos gustos. Si quiero combinar una fruta y un dulce, ¿cuántos helados diferentes puedo elegir?

Podemos ver que la cantidad de combinaciones de gustos de helados son 6.

¿Cuántos números de 3 cifras diferentes pueden formarse con los dígitos 1,2,3?

Los números posibles son: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

El descubrir que hay dos números que comienzan con 1, dos números que comienzan con 2, dos números que comienzan con 3 le permite, al alumno, descubrir regularidades para, más adelante, no tener que escribir todos los números y poder generalizar.

Por ejemplo.

¿Cuántos números de 4 cifras diferentes se pueden escribir con las cifras 1,2,3,4?

Si tenemos en cuenta la actividad anterior, habrá seis números diferentes que comienzan con 1, seis que comienzan con 2, seis que comienzan con 3 y seis que comienzan con 4. Total 24 números.

Ahora buscamos: ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se pueden escribir con las cifras 1,2,3,4,5?

Si pensamos que son 120 los números la escritura de todos ellos no es sencilla. Cuando los alumnos descubren al formación pueden analizar que comenzando con 1 habrá veinticuatro números diferentes, la misma cantidad comienzan con 2,3,4, y 5. Luego habrá 120 números diferentes.

La vinculación multiplicación – división.

Problemas como el siguiente:

Cada autito cuesta $2, Gonzalo gastó  $6.  ¿Cuántos autitos compró?.

Se pueden resolver desde la multiplicación. $2 + $2 + $2 = $6, luego compró 3 autitos.

Es factible que los niños más pequeños lo piensen de esta forma y no a partir de la división. Si tenemos en cuenta que la enseñanza de la división comienza desde la idea del reparto equitativo. Por ejemplo.

Tengo 6 caramelos y quiero repartirlos en partes iguales entre  3 compañeros, ¿cuántos caramelos le daré a cada uno?

El problema planteo no corresponde a un reparto equitativo, “cada auto costó $2, gastó $6”, es improbable que un alumno lo identifique como un problema que se puede resolver empleando la división.

Habrá que trabajar sobre estos tipos de problemas ( problemas de “partir”) para que los alumnos los identifiquen y resuelven de una manera menos costosa.

Las tablas de proporcionalidad también permiten la vinculación multiplicación – división. Se pueden completar pensándola desde la multiplicación o la división.

Completa la tabla sabiendo que cada porción siempre cuesta lo mismo. Cantidad de porciones pizza

Completa la tabla sabiendo que cada hamburguesa siempre cuesta lo mismo Cantidad de hamburguesas

Actividades para trabajar las propiedades.

Las propiedades de las operaciones permiten resolver de manera más cómoda un cálculo. Su enseñanza debe basarse en buscar esa comodidad o facilidad y no convertirse en obstáculos para su aprendizaje. Muchas veces se las enseña en forma aislada por ejemplo

(5 x 3 ) x 2 = 5 x ( 3 x 2)

Se usan paréntesis indicando cuáles son los productos a encontrar primero y luego se concluye que el resultado es el mismo. No se aclara que, justamente los paréntesis no son necesarios y no se muestra cuando y cómo conviene aplicarla.

Veamos varios ejemplos de su uso.

Sabiendo que 3 X 4 = 12

Resuelve:

  • 3 x 40 =
  • 3 x 400 =

El alumno deberá advertir que 3 x 40 implica la multiplicación. 3 x 4 x 10, luego para que la equivalencia se mantenga, 12 queda también multiplicado por 10.

Lo mismo sucede con 3 x 400

3 x 4 x 100 = 12 x 100

Sabiendo que 5 x 9 = 45

Resuelve:

50 x 9 =
500 x 9 =       5 x 90  =       5 x 900 =

Resolver en forma económica o más fácil.

5 x 4 x 2 x 8 =

Se pretende que los alumnos observen que, si se multiplica,

5 x 2 x 4 x 8 es más “fácil”  ya que

5 x 2 = 10 y 4 x 8 = 32, luego el resultado será 320

Vincular la multiplicación y la división.

Sabiendo que 2 x 3 = 6 se desprenden dos divisiones:

6 : 2 = 3           y            6 : 3 = 2

Esto muy evidente, no es apreciable inmediatamente para un niño. Por eso motivo es conveniente enseñarse ambas operaciones simultáneamente. Ambas pertenecen al mismo campo numérico según Vergnaud.

La multiplicación y la división por la unidad seguida de ceros.

2 x 1 = 2   2 x 10 = 20     2 x 100 = 200

En muchos textos se concluye que cuando se multiplica por 10, 100, etc “se agrega uno, dos, etc ceros”. Esto es lo observable directamente. Lo que se omite es analizar cómo cambia el número al ser multiplicado.

En el primer cálculo hay 2 unidades simples. Al multiplicar al 2 por 10 hay 20 unidades simples.

Pasa lo mismo cuando se divide. La expresión “al dividir por 10, 100, etc se tacha uno, dos, etc ceros” Puede llevar a error. No se comprende el por qué, solo es visible lo que queda. Frente a este cálculo 2.050 : 100, un alumno “tachó” los ceros.

La dificultad es la no comprensión de cómo funciona el sistema de numeración.

4 X 10 = 40       40 : 10 = 4           40: 4 = 10

La multiplicación como objeto de estudio en sí misma

Ejemplo 1 Sabiendo que 28 x 16 = 448, determinar, sin hacer la cuenta, los resultados de los siguientes cálculos:

 28 x 4=        448 : 7=        14 x 16 =       448 : 14 =

Analicemos cada uno:

1) 28 x 4 es igual a la cuarta parte de 448, ya que 16 = 4 x 4

2) 28 x 16 = 4 x 7 x 16 = 448 Luego: 448 : 7 = 4 x 16 = 64

3) 14 x 16 = a la mitad de 448, ya que 28 = 14 x 2

4) 14 x 2 x 16 = 448, Luego 448 : 14 = 2 x 16 = 32

Ejercicio 1

El producto entre dos números es 480. ¿Es posible encontrar el resultado de multiplicar el doble del primero por el doble del segundo? En caso de ser posible, encontrar dicho resultado. En caso de no ser posible, explicar por qué.

Ejercicio 2 Inventar multiplicaciones que den 1.600

Se pretende que el alumno pueda ir descubriendo que usando las propiedades conmutativa y asociativa puede escribir:

16 x 100 = 1.600
2 x 8 x 50 x 2 = 1.600
2 x 2 x 4 x 2 x 25 x 2 = 1.600
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 2 = 1.600
2 x 5 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 1.600
10 x 32 x 5 = 1.600
90 x 20 = 1.600
64 x 25 = 1.600
320 x 5 = 1.600, etc

Ejercicio 3

a) ¿Qué transformación se produce en un número como el 45 al multiplicarlo por 10?, ¿y por 100?, ¿y por 1000? ¿Por qué?

b) ¿Qué transformación se produce en un número como el 45 al sumarle 10?, ¿y al sumarle 100?, ¿y 1000? ¿Por qué?

c). Si parto de 45, ¿daría el mismo resultado multiplicar primero por 100 y después sumar 100, que sumar primero 100 y después multiplicar por 100? ¿Por qué?

d). Si quiero obtener el número más grande posible, ¿qué conviene hacer primero, sumar 100 o multiplicar 100? ¿Por qué?

Ejercicio 4

El producto entre dos números es 7.558. ¿Será posible conocer el resultado de multiplicar el doble del primero por el triple del segundo?

Esta actividad es interesante ya que permite, sin conocer los dos números que se multiplican, resolver el problema. El resultado será 6 x 7558

Plantear situaciones para multiplicar por dos cifras

Las actividades que siguen toman los procedimientos como objeto de análisis para compararlos y explicitar las relaciones establecidas, a la vez que exigen la formulación de argumentos sobre su validez.

Sin hacer las cuentas, responde:

a) Para resolver la cuenta 184 x 12, un alumno multiplicó 184 x 4 y 184 x 8 y luego sumó los resultados. ¿Por qué hizo esto? b) Javier pensó el 12 como (10 + 2) y luego multiplicó 184 x 10 ¸184 x 2 y luego sumó ambos resultados.¿Por qué? ¿Cuál de los dos procedimientos usrías? c) Para resolver el mismo cálculo, Dani hizo 184 x 3 x 2 x 2, porque ella dice que le resulta fácil calcular dobles. ¿es correcto? ¿Por qué?

Observa tres formas diferentes de resolver el cálculo 320 x 39:

320 x 40 – 320 320 x 13 x 3 32 x 4 x 100 – 320

Sin hacer los cálculos, respondé:

a) ¿Se obtiene el mismo resultado en los tres casos?

b) ¿Cómo se pensó cada uno?

c) ¿Qué propiedad permite a cada uno plantear el cálculo de esa forma?

Usando 45 x 12 = 540 y sin hacer más cuentas, explicar como se resolvieron los siguientes cálculos.

a) 45 x 24 = 1.080

b) 540 : 45 = 12

c) 450 x 12 = 5.400

d) 45 x 13 = 540 + 45

e) El resto de 541 : 12 es 1

Analicemos algunos:

A) 45 x 24 = 45 x 12 x 2 = 540 x 2 = 1.080

D) 45 x 13 = 45 x (12 + 1) = 45 x 12 + 45 x 1 = 540 + 45

E) 541 : 12 = 541 = 540 + 1

540 : 12 = 45 , por lo tanto el resto es 1.