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La probabilidad y la escuela primaria

El escaso espacio destinado, por la escuela, a la enseñanza del tema. La vinculación que existe entre probabilidad y otros campos de estudio, (investigaciones, teoría de gráficas, biología, entre otras), hacen necesaria una reflexión sobre el tema Probabilidad y su enseñanza en la escuela primaria.

 

Trabajo realizado por Cinthia Camacho, Luciano De Marco, Rubén Machicote, Betti Sosa en la cátedra Seminario de Matemática de 2do. ciclo. Escuela Normal Superior N° 4 . Estanislao S. Zeballos.

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Introducción

 *Consideramos que este, actualmente, en las escuelas primarias, es el  contenido "matemático" menos trabajado, ya que tampoco presenta gran desarrollo en el diseño curricular. *

 *Pero nosotros lo hemos analizado pensando  en  lo que  señala Piaget "...al jugar, el niño desarrolla su inteligencia, y mediante el juego el niño puede llegar a asimilar realidades intelectuales que sin él, son externas a la  inteligencia infantil".  Pensando en las oportunidades que esto brinda  y en actividades basadas en variados juegos de azar que favorecen su adquisición de   manera   intuitiva, es como encontramos la posibilidad para  que los niños adquieran nociones sobre probabilidad. *

 También es importante señalar que hemos considerado, para elegir este contenido, que la aplicación de la probabilidad existe en diversos campos de estudio, siendo cruciales las publicaciones  en muchos campos, de la vida (investigaciones, teoría de gráficas, biología, entre otras), Incluso para las personas cuyo interés no es la investigación,   Resulta de gran ayuda en la vida diaria, pues   otorga una capacidad de comprensión superior a la de aquellos  que no tienen bases probabilísticas sólidas.

La construcción del conocimiento sobre probabilidad en la escuela debe estar presente en todo el proceso de enseñar y aprender, en cuanto el contexto así lo requiera, entre otras razones, porque:

  • Nos ayuda a entender algo más y mejor el mundo actual a base de porcentajes, fracciones, recuentos, simulaciones, etc.
  • Es una buena fuente de motivación en cuanto a la utilización de juegos en clase con los niños.
  • Es preciso que los alumnos vayan construyendo a base de experiencias aleatorias una red conceptual que permita diferenciar incipientes  intuiciones de lo que es un verdadero conocimiento probabilístico.
  •  Permite interpretar y comprender el grado de cumplimiento de determinadas predicciones

*En este trabajo se presenta un análisis de la importancia otorgada a los juegos de azar y su carácter intuitivo para la enseñanza de probabilidad en la escuela primaria, más precisamente en el segundo ciclo. *

Dentro de los objetivos generales del presente trabajo se encuentran desarrollados; un primer acercamiento teórico a este tema de enseñanza y secuenciado  un proyecto áulico con una propuesta pensada para que este pueda ser aplicado.

Objetivos generales

  •  Investigar sobre un contenido menospreciado en la práctica escolar tradicional.
  • Asignarle mayor importancia, teniendo en cuenta que es uno de los  sentidos  de la multiplicación, la cual ésta se comienza a introducir  en los primeros años de la primaria, y que tradicionalmente se comienza a trabajar recién cuando los alumnos llegan al final del ciclo primario, en séptimo grado. **
  • Este contenido nos ofrece un gran abanico de actividades y situaciones referidas y relacionadas con él. Nuestro objetivo es poder seleccionarlas y aplicarlas en una secuencia didáctica acorde a un 4º grado, segundo ciclo de la escuela primaria.

Desarrollo

Cómo pensamos la multiplicación

Que los niños aprendan a utilizar las diferentes operaciones matemáticas ha sido históricamente uno de los objetivos de la escuela primaria.

Tradicionalmente la forma de enseñanza de las operaciones conducía a que los niños tuvieran dominio de una técnica en donde la actividad en el aula se limitaba a reconocer, luego de las correspondientes explicaciones del maestro, qué definición usar, qué regla hay que aplicar o qué operación "hay que hacer" en cada tipo de problema.,

Como se señala en los documentos curriculares, la enseñanza de la Matemática que sólo la ve  como una técnica implica que:

"Se aprende qué hacer, pero no para qué hacerlo ni en qué circunstancia hacer cada cosa. Esta enseñanza ha derivado en dificultades que ya conocemos: por una parte, aunque permite que algunos alumnos logren cierto nivel de "éxito", cuando el aprendizaje se evalúa en términos de respuestas correctas para problemas tipo, deja afuera a muchos alumnos que no se sienten capaces de aprender Matemática de este modo. Por otra parte, lo así aprendido se demuestra claramente insuficiente en el momento en que se trata de usar los conocimientos para resolver situaciones diferentes de aquellas en las que se aprendieron".Diseño curricular para  el segundo ciclo.Educación general básica Tomo 2. G.C.Bs.As. Subsecretría de Educación. Dirección General de Planeamiento. Dirección de currícula.

Estamos en desacuerdo con la forma de enseñanza que plantea que aprender las operaciones es aprender una técnica; creemos que los niños deben aprender en la escuela conocimientos provistos de sentido, conocimientos funcionales que puedan ser utilizados para resolver situaciones problemáticas.

La construcción del sentido de los conocimientos de las operaciones involucra diferentes aspectos. Entre ellos, una variedad de problemas, una variedad de procedimientos de resolución, una variedad de estrategias de cálculo y el estudio de sus propiedades.

En relación con ese conjunto de problemas que se pueden resolver a partir de una noción matemática  creemos que los mismos constituyen los contextos en los cuáles vamos a presentar la noción a los alumnos. Estos contextos pueden ser matemáticos o no.

  "En este sentido, al producir la solución, el alumno sabe que en ella hay conocimiento matemático, aunque no logre identificar cuál es. Para que pueda reconocerlo, tendremos que intervenir nombrando las nociones del modo en que se usa en la disciplina y reformulando las conclusiones alcanzadas por el grupo con representaciones lo más próximas posibles a las convencionales, es decir reconociendo como conocimientos matemáticos los que se usaron como instrumento de resolución, ahora independientemente del contexto. Asimismo, se podrán relacionar esos conocimientos con otros que fueron trabajados anteriormente".Documneto de trabajo n° 4.  E,G.B Act. curricular 1.997   G.C.Bs.As. Subsecretría de Educación. Dirección General de Planeamiento. Dirección de currícula.

 Realizando este trabajo de presentar cada noción en diferentes contextos, y descontextualizarla cada vez, ampliamos el campo de problemas que los alumnos pueden resolver con ella. De este modo, con cada nuevo problema, los chicos avanzan en la construcción de su sentido. Esto es posible ya que cada noción matemática resuelve un cierto conjunto de problemas pero, esta noción, no tiene el mismo significado en cada uno de estos problemas.

En relación con la multiplicación el aprendizaje de de dichos conceptos es muy complejo y su construcción se da a lo largo varios años. Las situaciones del campo multiplicativo son tan vastas que es un desafío para la enseñanza cubrir esta diversidad e ir garantizando su profundización paulatina.

El poder pensar la multiplicación como producto está, en parte, condicionado por el haber podido establecer ya un conjunto de relaciones multiplicativas entre los números, es decir, que un conjunto de productos básicos están disponibles. Para que los niños tengan a disposición un repertorio multiplicativo con el cuál trabajar en el aula debería haberse podido reflexionar sobre las propiedades de la operación, establecer relaciones entre estos números -más que memorizarlos-, organizar los resultados que se les presentan, etc.

Al analizar la complejidad del campo multiplicativo debemos analizar los aspectos relacionados con la clase de números y las magnitudes que involucran las situaciones planteadas.

A medida que trabajan sobre los distintos sentidos los alumnos construyen nuevas y cada vez más ricas relaciones entre los números. Las relaciones que son capaces de establecer les permiten un juego más potente de anticipaciones y un mayor control sobre su trabajo.

Es por las razones anteriormente expuestas que al abordar la noción de multiplicación  la abordaremos a partir de los diferentes contextos o sentidos en los que la podemos encontrar.

Para esto desarrollaremos brevemente algunos de los contextos más habituales que se presentan en la enseñanza de la multiplicación para luego abocarnos más profundamente al contexto de probabilidad.

Contexto de suma reiterada.

Campo de utilización

La suma reiterada de un mismo número natural suele ser el primer contexto a través del cual se introduce la enseñanza de la multiplicación en las aulas.

Al abordar este contexto los niños suelen extender los modelos aditivos de los que  ya disponen para pensar los "nuevos" problemas multiplicativos que se les presentan para resolver.

Problemas que permite resolver

Compro 6 cuadernos a $2 cada cuaderno ¿Cuánto me cuestan los seis cuadernos?

Un cuaderno pequeño vale 3 pesos. Un cuaderno grande cuesta tres veces más que el pequeño. ¿Cuánto vale el cuaderno grande?

Tengo ocho paquetes en una caja. En cada paquete hay seis galletas. ¿Cuántas galletas tengo en la caja?

Contexto de proporcionalidad

Campo de utilización

En los problemas de proporcionalidad se relacionan 2 magnitudes. Este tipo de problemas se suele presentar en las escuelas, generalmente,  a partir de 4° como un "tema nuevo" aunque el campo de problemas con el que se encuentra relacionado el concepto se viene trabajando desde primer grado.

Dentro de este contexto las relaciones mayormente trabajadas son aquellas que involucran relaciones de proporcionalidad directa. Esta es una relación entre dos variables en la que el cociente entre las cantidades que se corresponden es el mismo y se denomina constante de proporcionalidad.

Problemas que permite resolver

  Una canilla tarda cinco horas y veinte minutos en llenar un tanque de 7800 litros. ¿Cuantos tanques puede llenar la canilla en una semana?

*Si en dos paquete de caramelos ha 20 caramelos. ¿cuántos caramelos  habrá en 8 paquetes sabiendo que todos tienen la misma cantidad?. *

Contexto de producto de medida

Campo de utilización

Muchas veces para calcular la medida de cierta magnitud es necesario multiplicar medidas correspondientes a otra magnitud.

El producto de medidas es una relación ternaria en la que dos magnitudes se multiplican para obtener una tercera.

Los problemas de producto de medidas implican tres (o más cantidades) extensivas y el producto de las dos primeras origina la tercera.

Los problemas de producto de medida son doblemente proporcionales;  cuando una magnitud es producto de otras dos existe una relación de proporcionalidad entre la magnitud producto y cada magnitud "factor", es por esto que son problemas de proporcionalidad más complejos.

 Problemas que permite resolver

*Calcula  cuánta cinta necesito para pegar en el borde de una caja que mide 8cm de largo por 5 cm de ancho. *

En una escuela organizaron una campaña para confeccionar frazadas a partir de cuadrados de lana de 20 cm por 20 cm. Si desean hacer frazadas que midan 2 metros de largo y 1 metro 60 cm de ancho:

¿Cuántos cuadrados de lana se necesitan para una frazada?

Si logran reunir 1.000 cuadrados de lana ¿cuántas frazadas se pueden confeccionar?

¿Sobran cuadrados?

Contexto de disposición rectangular

Campo de utilización

Pueden ser considerados como un tipo de problemas que se encuentran también en el contexto de problemas de productos de medida de cantidades discretas ya  que también se presenta una relación de doble proporcionalidad.

Su instrumentación permite que sea muy natural la comprensión del concepto de multiplicación entre dos números, así como la conmutatividad en la multiplicación.

Problemas que permite resolver

¿Cuántas butacas hay que comprar para equipar una sala de cine si quieren poner 15 filas con 8 butacas en cada fila? 

Contexto de combinatoria

Campo de utilización

El contexto de combinatoria permite estudiar las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.

Busca procedimientos y estrategias para el recuento de los elementos de un conjunto o la forma de agrupar los elementos de un conjunto.

Podemos describirla como la técnica de contar sin enumerar. A través de ella podemos conocer el número de elementos de un conjunto, el número

de casos posibles de una situación, el número total de resultados que puede arrojar una experiencia, etcétera.

La combinatoria analiza todo tipo de posibilidades al momento de considerar la cantidad de opciones posibles en un conjunto finito de objetos. Tiene en cuenta la repetición posible de los mismos, y la no repetición, al igual que los intercambios de posiciones de los elementos con respecto a su ubicación y orden específicos. Este tipo de operaciones se denominan variaciones, combinaciones y permutaciones.

Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos: variaciones sin repetición, variaciones con repetición, permutaciones sin repetición, permutaciones con repetición, combinaciones sin repetición, combinaciones con repetición.

Se debe trabajar con los niños desde los primeros grados de la escuela primaria porque: casi no requiere de conocimientos matemáticos previos y el análisis de los problemas combinatorios está presente la esencia misma de la Matemática: su función ordenadora del pensamiento, su misión de enseñar a abstraer y generalizar, de encontrar lo común en lo aparentemente distinto, su finalidad primordial de desarrollar métodos y estrategias para resolver problemas.

Problemas que permite resolver

Fabiola fue de vacaciones a Bariloche con sus papás y construyeron un muñeco de nieve.Como tenían una bufanda roja, una violeta y una verde y un sombrero amarillo y uno celeste decidieron vestirlo. ¿De cuántas maneras pudieron vestir al muñeco?Pinta y descubre todas las posibilidades.

Con los dígitos 0; 2; 4; 5; 8 Y 9, sin repetir, ¿cuántos números de 2 cifras menores que 79 puedes formar? Escríbelos

Ana, Betina, Carla, Eduardo, Federico, y Horacio quieren participar en el acto de la escuela bailando El Gato. ¿Cuántas parejas de baile diferentes pueden formar la maestra?

Probabilidad y azar

El azar está relacionado con el desconocimiento. Un ejemplo nos puede ayudar; piense en un proceso industrial que produce grandes cantidades de un artículo determinado. No todos los artículos producidos son idénticos, cada artículo puede calificarse como "bueno o "defectuoso. Si de toda la producción se escoge un artículo "a ciegas'', ese artículo puede resultar bueno o defectuoso. Esta es una situación azarosa (o aleatoria) y la parte esencial de este azar es que no sabemos si el artículo seleccionado es defectuoso. Claro que con experiencia en el proceso es posible cuantificar de una manera numérica qué tan probable es que el artículo sea defectuoso o no.  Espacio muestral.

Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.

La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios.

A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.

Resumiendo en las situaciones o experimentos aleatorios tenemos dos elementos esenciales:

  1. Una lista de posibilidades a futuro: espacio muestral 
  2. Una cuantificación de la incertidumbre sobre esa lista de posibilidades: asignación de probabilidades. 

Probabilidad simple y de sucesos

La probabilidad simple se da cuando hay un solo suceso o evento incluido. Esta misma se calcula de la siguiente manera:

P (x) =  c/n                          

Cocientedel número de casos favorables (c) por el número de casos posibles (n)

Ejemplo: Hay 87 caramelos en una bolsa y 68 son de ananá. Si se escoge uno, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea de ananá?

La probabilidad mide la frecuenta con la que aparece un resultado determinado, dicha medición oscila entre todos los decimales incluidos entre 0 y 1. Cuando la probabilidad es 0, el suceso es imposible y cuando la probabilidad es 1, el suceso es seguro.

El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto aún realizando el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, a priori no se conoce cual de los resultados se va a presentar:

Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cómo se refleja esto en el cálculo de probabilidades.

Entre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones.

a) Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene.

Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Dijimos que el suceso a) está contenido en el suceso b).

P(A) = 1/6 = 0,166                               P (B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).

b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos.

P(A) = 3 / 6 = 0,50                              P (B) = 3 / 6 = 0,50

c) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos comunes.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 3. La intersección de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6.

Su probabilidad será por tanto:    P(A L B) = 2 / 6 = 0,33

d) Unión de dos o más sucesos: la probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.

P(A) = 3 / 6 = 0,50       P (B) = 3 / 6 = 0,50      P (A ∩ B) = 2 / 6 = 0,33

Por lo tanto,   P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666

e) Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que su intersección es el conjunto vacío y por lo tanto no hay que restarle nada).

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6.

La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:

P(A) = 2 / 6 = 0,333                   P (B) = 1 / 6 = 0,166

Por lo tanto,    P(A U B) = 0,33 + 0,166 = 0,50

f) Sucesos complementarios: la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A)

Ejemplo: lanzamos un dado al aire. El suceso (A) es que salga un número par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un número impar.

La probabilidad del suceso (A) es igual a:

P(A) = 3 / 6 = 0,50

Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:

P (B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50

Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles":

P (B) = 3 / 6 = 0,50

g) Unión de sucesos complementarios: la probabilidad de la unión de dos sucesos complementarios es igual a 1.

Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:

P(A) = 3 / 6 = 0,50                    P (B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto,         P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1

Propiedades de la probabilidad

Las propiedades de la probabilidad son:

  • La probabilidad, P(A), de un suceso es mayor o igual que 0 y menor o igual que 1, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
  • La probabilidad del suceso seguro es 1 y la probabilidad del suceso imposible es 0, P (E) = 1 y P (∅) = 0.
  • Cuando dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades, P(AB) = P(A) + P (B).
  • La probabilidad de cualquier suceso es igual a 1 menos la probabilidad de su contrario, P(A) = 1 - P(Ä).
  • Para dos sucesos cualesquiera, A y B, se verifica siempre que la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de la intersección, P(A ∩ B) = P(A) + P (B) - P(AB).
  • Las características de la probabilidad son:
  • La probabilidad de un suceso es mayor o igual que cero.
  • La probabilidad del suceso seguro es uno.
  • La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de sus probabilidades.

Y sus propiedades, deducidas a raíz de las características son:

  • La probabilidad del suceso imposible es 0.
  • La probabilidad de un suceso sumada a la de su contrario da 1.
  • Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.
  • La probabilidad de un suceso es un número real menor o igual que 1.
  • La probabilidad de la unión de varios sucesos incompatibles dos a dos es la suma de sus probabilidades.
  • La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección.

Bibliografía

Matemática. Documento de trabajo nº 4. E.G.B. Actualización curricular.  Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Secretaría de Educación, Subsecretaría de Educación. Dirección General de Planeamiento. Dirección de Curriculum.  1.997

DIseño Curricular para la educación pimaria.2do. ciclo de la Escuela Primaria.EGBTomo 2.Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Secretaría de Educación, Subsecretaría de Educación. Dirección General de Planeamiento. Dirección de Curriculum.  2.004

Diaz Giodino, J, Batanero, C. Cañizares,M Azar y probabilidad. Ed. Síntesis.Madrid 1.996