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La enseñanza de la divisibilidad.

¿Para qué se enseña?. Permite a los alumnos profundizar propiedades de las operaciones. Al m ismo tiempo recuperar las nociones de múltiplos y divisores. Constituye el punto de partida para profundizar sobre la verdad o la falsedad de proposiciones. ¿Cómo se establece la verdad en Matemática ?.

La Divisibilidad. ¿Qué es?. ¿Para qué se emplea?.

En general el concepto de divisibilidad se enseña, en la escuela primaria, para que los niños puedan resolver adiciones y sustracciones con fracciones y algunos problemas de los llamados “de encuentro”. Ejemplo: Juan visita a su abuela cada dos días y su hermana María cada 3 días. Si ambos la visitaron el lunes pasado, ¿cuándo volverán a coincidir en la visita?.

No se vincula con otros temas y no se le da la importancia que el tema presenta. Incluso no se trabaja el concepto de cuándo un número es divisible por otro. El lector podrá pensar que si, pues se enseñan las “reglas de divisibilidad”. La pregunta es. ¿se enseñan?, o ¿se informa a los alumnos de las reglas?.

  • Todo número que termina en cifra par es múltiplo de 2.

  • Todo número que termina en cero o en cinco es múltiplo de 5.

  • Si las dos últimas cifras de un número son múltiplos de cuatro, el número es múltiplo de 4.

Etc.

¿Por qué esto es así?. ¿Por qué funciona de esta manera?.

Múltiplos y divisores.

¿Qué es un múltiplo y qué es un divisor?.

Múltiplo: aquel número que se obtiene al multiplicar un número por otro. Es el producto de una multiplicación.

Por ejemplo: 4 x 3 = 12 , 12 es múltiplo de 4 y es múltiplo de 3. 4 y 3 son llamados “factores” de 12.

Divisor: Si atendemos a la división entera. D = d x c + r (dividendo = divisor x cociente + resto).

El divisor es aquel número que divide a otro. Por ejemplo: 2 divide a 7; 2 divide a 8, etc.

Qué diferencia hay entre ambas situaciones.:

2 divide a 8, “exactamente” es decir el resto es cero. Esto se debe a que 2 es divisor factor de 8.

Significa que 2 x 4 = 8, 2 es divisor- factor de 8.

No sucede lo mismo con : 2 divide a 7. 2 no es divisor factor de 7, pus no hay ningún número entero que multiplicado por 2 de cómo resultado 7.

Significa: 7 = 2 x 3 +1 , el resto es distinto de cero, 2 no es divisor – factor de 7.

Como podemos observar la palabra DIVISOR, presenta un sentido amplio, número que divide a otro. Un sentido estricto divisor – factor, que divide a otro y cuyo resto es cero.

Esto será importante en el momento de trabajar con los alumnos. Si sólo decimos que un número es divisor de otro cuando el testo es cero,

  • Se contradice con el nombre de divisor en la relación D = d x c + r y lo obligamos a hacer la cuenta para saber si el resto es cero o no.
  • No le permitimos observar otros aspectos como el siguiente; Si presentamos el siguiente cálculo 16 x 23 = 368 y preguntamos ¿16 es divisor de 368?.

Es muy probable que los alumnos “hagan la cuenta de dividir” , ya que no tienen otro estrategia para responder a la pregunta.

El lector podrá argumentar que la multiplicación y la división son operaciones inversas y, que, por lo tanto es obvio.

No lo es para los alumnos. Se les ha enseñado el concepto vinculado con la división y no a “leer” la información dada en la expresión simbólica.

P1: Piense Usted., sin hacer la cuenta, ¿46 es divisor de 368?.

Será necesario trabajar con los alumnos actividades como las siguientes:

-Act 1- Sabiendo que 23 x 16 = 368, ¿cuáles son los divisores de 368?. Los primeros en ser observados son 23 y 16, pero si descomponemos el número 16 de esta forma: 23 x 4 x 4 = 368 podemos ver que 4 también es divisor de 368. 23 x 8 x 2 , luego 2 y 8 también lo son.

Estos divisores no aparecen al hacer la cuenta de dividir, ésta no es necesaria.

-Act. 2-Sabiendo que 8 x 15= 120, ¿cuáles son los divisores de 120?. Descomponemos: 4 x 2 x 5 x 3 = 120 . Los divisores son: 4; 2; 5; 3; 8; 15; 6; 12; 32; 40; 24; 60, 20.

P2: Piense Usted; ¿de dónde se han obtenido los últimos números?.

Veamos que, aplicando las propiedades conmutativa y asociativa, podemos escribir:

5 x 24 = 120

10 x 12 = 120

20 x 6 = 120

40 x 3 = 120

Todos los productos son equivalentes, luego los distintos factores son divisores de 120.

Por otra parte, para poder encontrar rápidamente los distintos productos, puede observarse que si 10 x 12 = 120 . al multiplicar la mitad de 10 por el doble de 12, se obtiene 120.

El doble de 10 por la mitad de 12 es igual a 120 , etc.

Se podrá, entonces, trabajar con los alumnos estas relaciones numéricas, ricas en cuanto al reconocimiento de propiedades, numéricas., vinculación entre divisores y múltiplos y propiedades de las magnitudes inversamente proporcionales.

P3;: Piense Usted ¿qué asociación permite que aparezca el número 80?.

De la misma trate de encontrar los divisores, a partir de la información dada en 24 x 15 = 360..

P4: ¿Cuáles son los divisores de 216?. Resuélvalo descomponiendo el número a partir de la multiplicación.

Estas actividades permitirán a los alumnos comenzar a leer la información que presentan los números ayudándose con otras estrategias más ricas para el reconocimiento de divisores y múltiplos. Y más adelante reconocer la necesidad de encontrar otras herramientas cuando la lectura no sea tan sencilla. Por otra parte podrá notarse que no se ha hecho mención alguna a enseñados en forma mecánica y vacíos de comprensión.

Veamos otras actividades que aparecen en los libros de texto actuales.

Act3: Sabiendo que 16 x 25 = 400 ¿Cuál será el resultado de 8 x 25?.

Si observamos que 8 es la mitad de 16, el resultado será la mitad de 400. No es necesario hacer la multiplicación.

Creo que es obvio indicar que el objetivo de la actividad anterior no es encontrar el resultado, sino trabajar con las propiedades numéricas y la lectura.

P5: Teniendo en cuenta la relación anterior ¿Cuánto será 160 x 25?.¿ y 16 x 5?. Y ¿16 x 50?.

Los números dan información, las operaciones dan información. Hay que saber leerla y que nuestros alumnos aprendan a hacerlo.

El contexto en el cual se ha trabajado en las actividades anteriores es intramatemático, pero, también se lo podrá trabajar en el contexto de las organizaciones rectangulares.

Act4; Sabiendo que 8 x 25 = 200 ¿cuánto es 200 : 8?, Es 25 porque 25 x 8 = 200

¿cuánto es 200; 4?. Es 50 porque 4 es la mitad de 8, entonces 4 x 50 = 200.

Act5: Sabiendo que 8 x 14 = 112 ¿cuánto es 112 : 16?, Es 7 porque 16 es el doble de 8 y la mitad de 14 es 7.

P6: ¿cuánto es 112; 28?.¿Por qué?. Y ¿112 : 56?..¿Por qué?.

Podrá seguir observado la riqueza del trabajo matemático, la puesta en juego de propiedades y la relación de igualdad entendida como equivalencia, la no necesidad de “hacer la cuenta de dividir” y el propiciar el cálculo mental

Trabajando con la divisibilidad

Proponemos a los alumnos

Si el producto de 13 x 3 es múltiplo de 3, el doble de dicho producto es múltiplo de 3?. La respuesta es si, pues 39 es múltiplo de 3 pues 3 es uno de los factores. Si al producto lo multiplicamos por 2, es decir hallamos el doble, el producto seguirá siendo múltiplo de 3. pues éste sigue siendo ipso del número. 13 x 3 x 2

P7; Piense Usted y justifique su respuesta. Si multiplicamos a 15 x 3 por 8, el resultado seguirá siendo múltiplo de 3?.

Encontrar un número múltiplo de 48 que sea tres veces mayor que él.

Problemas para trabajar la divisibilidad.

Ejemplo de actividades para 4to. grado – año Si tengo una cierta cantidad de bombones y los coloco en cajas de a 6 no sobra ninguno. Si los coloco en cajas de a 8 tampoco sobra ninguno. ¿cuántos bombones podré tener?.

Lo que se pretende es, que el alumno, a partir del problema busque un número que sea al mismo tiempo múltiplo de 6 y de 8.

¿Cómo procederá para encontrarlos?. Escribiendo los distintos múltiplos hasta encontrar aquellos que cumplan ambas condiciones. Ser múltiplo de 6 y de 8. La respuesta será que existen infinitos múltiplos que cumplen esta condición. Los alumnos deben advertir que existen problemas con muchas soluciones posibles.

Podemos modificar el problema agregando:

  • la cantidad de bombones es menor a 100

De esta manera las respuestas posibles serán 48 y 96 en el primer caso, observando que existen dos soluciones posibles.

o* está comprendida entre 100 y 300. Esto obligará al alumnos a buscar alguna estrategia de cálculo para obtener todas las soluciones posibles.Por ejemplo, encontrar el menor múltiplo, el 48 y luego:

48 x 3 = 144

48 x 4 = 192

48 x 5 = 240

48 x 6 = 288

48 x 7 = mayor a 300

Será importante que los alumnos puedan comenzar a distinguir cuando los problemas tienen infinitas, algunos, una o ninguna solución posible.

Los problemas no se resuelven solamente haciendo cuentas y preguntando si es correcta la respuesta o no,. Exigen análisis de condiciones, estrategias cada vez más económicas, planteo de situaciones.

Ejemplo de actividades para 5to. grado – año

Podrán presentarse problemas similares con tres números en juego. La idea es que los alumnos, poco a poco, vayan buscando estrategias de cálculo más económicas para resolver los mismos problemas.

Ejemplo de actividades para 6to. grado – año

Tengo una cierta cantidad de figuritas, si las agrupo de a dos no sobra ninguna, pero, si las agrupo de a cinco sobra 1. ¿cuántas figuritas tengo?.

Con los alumnos se deberá analizar la situación presentada.

Los números a buscar tienen que ser pares, pero no terminados en cero. Una posible respuesta será 6. Pues 6 = 5 + 1 , lo cual nos muestra que el resto de la división por 5, es 1.

Luego, de manera similar: 16 = 15 +1 ; 46; 76; etc. Esto nos lleva a pensar: ¿cómo podemos reconocer si un número es múltiplo de otro?.

Primero: podemos apoyarnos en la relación D = d x c + r (dividendo = divisor x cociente + resto). 49 = 16 x 3 +1 , y leemos la información de esta expresión , 49 no es múltiplo de 3 pues podemos observar que el resto es 1.

89 = 8 x 10 + 9, 89 no es múltiplo de 10. 36 = 5 x 7 +1 , 36 no es múltiplo de 5. el resto es 1. 36, ¿es múltiplo de 7?. ¿Por qué?.

¿Cuál es el resto de dividir 4 x 85 x 23 por 4?. Sin hacer la cuenta se puede advertir que al ser 4 uno de los factores, el número si es múltiplo de 4, el resto será cero.

P8: Piense Usted: ¿cuál es el resto de dividir 15 x 17 x 36, por 5?. ¿Por qué?.

¿cuál es el resto de dividir 35 x 4 + 1 , por 4?. ¿Por qué?.

¿cuál es el resto de dividir 8 x 17 + 2 por 4?. ¿Por qué?.

¿cuál es el resto de dividir 25 x 7 +4 , por 7?. ¿Por qué?.

Hablemos un poco más de la división.

Javier tiene 30 figuritas y las quiere repartir entre sus 4 amigos. ¿Cuántas figuritas dará a cada uno?.

Javier tiene 30 figuritas y las quiere repartir entre sus 4 amigos en forma equitativa. ¿Cuántas figuritas dará a cada uno?.

Javier tiene 30 figuritas y le quiere dar 4 a cada uno de sus amigos. ¿A cuántos amigos dará figuritas ?.

Los enunciados anteriores presentan similitudes y diferencias.

El primero admite varias soluciones posibles, por ejemplo, dar 5 figuritas a un niño, 7 a otro, 8 a un tercero y 10 al cuarto. O bien, 7 a cada uno de los tres primeros y al cuarto 9 figuritas. El enunciado no aclara que el reparto sea en partes iguales. Si no lo dice no se puede asumir que sea así.

El segundo la respuesta será 5 a cada uno, pues es un reparto equitativo.

El tercero no es un problema de reparto, es un problema de partición. Estos problemas son las más difíciles para que los niños los identifiquen como problemas de división.

¿Y con los restos qué?.

Luciana tiene 7 globos y los quiere repartir en partes iguales entre dos compañeras, ¿cuántos globos dará a cada una?.

Luciana tiene 7 y los quiere repartir en partes iguales y en su totalidad entre dos compañeras, ¿cuántos alfajores dará a cada una?.

75 alumnos y 3 maestras de la escuela van al planetario. Si en cada ,micro pueden ir hasta 30 personas. ¿cuántos micros serán necesarios para transportar a todos, con el menor costo posible?.

La solución al primer problema será 3 globos para cada uno y sobrará 1.

La solución al segundo problema será 3 alfajores y la mitad de otro.

La solución al tercer problema será 3 micros. Nadie puede quedar sin ir.

Como se puede observar cada problema presenta una situación a pensar, decidir, argumentar. No todo es cuestión de cuentas.

Problemas para los alumnos.

Tenemos que repartir, en partes iguales, 20 caramelos, entre 5 niños. ¿Cuántos caramelos recibe cada uno?.

¿Y si la cantidad de caramelos fuera 21; 22; 23; 24; 25?.

Se podrá confeccionar una tabla, teniendo en cuenta los distintos restos obtenidos.

20--21--22--23--24--25

30--31--32--33--34--35

Permitirá a los niños observar que los distintos restos son 0; 1; 2; 3; 4. ¿En qué casos se han repartido todo y no sobra nada?. En todos estos números se verifica que: 20 = 4 x 5 ; 30 = 6 x 5 ; 25 = 5 x 5 , etc. En el resto las distintas expresiones serán 21= 4 x 5 +1 ; 22= 4 x 5 + 2 , etc.

¿Cuál es el mayor resto que se puede obtener?.

Actividades para 4to – 5to. grado /año

Si cuento de 4 en 4, a partir del 3, ¿llego al número 96?.

Se organiza una reunión y no se sabe si vendrán 4 ó 6 personas.¿En cuántas partes habrá que cortar la torta para darle la misma cantidad a cada uno y no sobre nada?.

Un ejemplo trabajado con los alumnos.

Un cartel tiene 4 luces de colores Amarillo, Verde; Rojo; Blanco.

Se van encendiendo, por minuto. El primer minuto, la luz amarilla, el segundo minuto la verde, el tercer minuto la roja y el cuarto minuto la blanca. El quinto minuto la amarilla, el sexto minuto la verde y así continua.

¿Cuál es el color de la luz en el minuto 7?. ¿Y en el minuto 18?. ¿Y en el 35?. ¿y en el minuto 100?, ¿Y en el 412?. ¿Y en el 2.000?

Para resolverlo algunos alumnos fueron escribiendo, debajo de los colores, los distintos números hasta encontrar la respuesta.

A--V--R--B

1--2--3--4

5--6--7--8

...........

17-18

En el minuto 7 la luz es de color rojo y en el 18 es de color verde.

Al llegar al número 415 uno de los alumnos argumenta:

A1-Yo pensé que 400 es 4 veces 100, entonces es blanca. A partir de ahí conté 15 y llegué a rojo.

Se propuso el número 815. A1-Es igual, rojo, porque 800 va a ser blanca, y a partir de allí, se cuenta. A2-Con el 2.000 también llegas a la luz blanca.

Se propuso el número 2.136 A3-Con 2.000 llegas a la blanca. Habría que contar 136 y ver cuál es la luz.

Se propone descomponer el número 2.136. 2136 = 2.100 + 36 Esto permite que se den cuenta que no necesitan contar con un número tan “grande” como 136.

A partir de aquí los alumnos comienzan a darse cuenta que, una estrategia económica es dividir por 4, el número.

La pregunta es:¿cómo darse cuenta mirando, si el número o no es múltiplo de 4 o cuál es el resto que se obtiene.

Los alumnos proponen:

A1 tienen que terminar en 4. (Semejante al reconocimiento de los múltiplos de 5).Se propone el número 14.

A2. tienen que terminar en 0. (Han probado con 400. 800, 2.000). Se propone el número 70 . Algunos sugieren que deben terminar en dos ceros. (observando los ejemplos dados)

Se proponen los números 436; 1.348; 2.024. Observan que también son múltiplos de 4

Se procede a decomponer los números: 436= 400+36 1.348= 1.300 + 48; 2.024= 2.000 +24

Se concluye que es necesario que las dos últimas cifras sean múltiplos de 4.

Puede observarse que los alumnos han podido "descubrir" cuando un número es múltiplo de 4 y elaborar ellos la regla.