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Ecuaciones :primera parte

¡Qué son las ecuaciones?,¿A partir de qué momento se deben enseñar?. Funciones.

Ecuaciones: 1era.Parte

 ¿Qué es una ecuación?

Una igualdad que se torna verdadera para algún o algunos valores de la variable,

La expresión  x + 5 = 8  será verdadera cuando x tome el valor 3.

El concepto de ecuación nos remite al de función.

Las siguientes fórmulas  expresan relaciones funcionales             y = x +1 m         y = x2        y = (x + 2 ). 3, en ellas tanto x como y son variables.

La x es la variable independiente y la y la variable dependiente.

Una relación, entre variables, es función si a cada calor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente.

Dominio e imagen de una función.

El dominio de una función f , es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente, Se denota Dom f o Df.

La imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente. Se denota Im f o If.

¿Qué se necesita para definir una función?.

El conjunto dominio, una ley de formación y el conjunto de llegada, (codominio).

El conjunto de llegada (codominio) es el conjunto en el cual está incluido el conjunto imagen.

Ley de formación : puede estar dada en lenguaje coloquial, por tabla, gráficos o fórmulas.

Existen distintos tipos de funciones.

Lineales

Cuadráticas

Exponenciales

Hiperbólicas.

Etc.

Funciones lineales.

Responden a la forma f(x) = m x + b

M y  b son números reales cualesquiera y x es la variable independiente.

La representación gráfica es una recta o puntos alineados, dependiendo del dominio de definición de la función.

Ejemplo:1        f( x) = x + 3                   0 = x + 3  , el valor de x en esta ecuación  es - 3 y será el punto de intersección de la recta con el eje de las equis. Porque este es el valor que hace que la función valga 0.

Ejemplo 2;       f(x) = 2 x - 5            0 = 2 x  - 5         x = 5/2

Pensemos ahora en el trabajo con los alumnos de escuela primaria.

Los alumnos de escuela primaria  resuelven ecuaciones sin saberlo.

Al buscar el siguiente de un número.

Al calcular el área, por ejemplo, de un cuadrado.

Al responder a ¿De cuál  número 8 es su siguiente?.

Dificultades en su comprensión

a)      La simbolización

El siguiente de un número se expresa: x + 1

Es indudable que es mucho más sencillo simplemente indicar el siguiente de 9 a tener que simbolizarlo.

Traducir del lenguaje coloquial al simbólico no es sencillo.

Por ejemplo

1)      El doble de un número más 4 es igual al mismo número menos dos unidades.

Se traduce:  2 n  + 4 = n - 2

2)      ¿Qué significa la siguiente expresión?.

(2 a + 1 ) + (2 b + 1) = 2 n

3)      ¿O esta otra?.

5 n + 5 m = 5 ( n + m )

b) El uso de letras y números. 

La necesidad de generalizar ciertas relaciones entre números naturales hace necesario recurrir al empleo de letras.

Ejemplos:

1)      Si a es un número natural ,¿cuáles son los posibles valores para que sea verdadera la expresión:  a  x  10.000 > 38.430?.

No se pretenderá que los alumnos resuelvan la inecuación planteada. Si que comprenda que el valor de a deberá ser mayor a 3.

2)      ¿Qué significa la expresión 2  x a.?

Todos los múltiplos de 2.

c) Comprender que las ecuaciones son herramientas para resolver situaciones.

Si se  pregunta ¿cuál es el valor que hay que agregar a 8 para obtener 14? La respuesta  es evidente,  el valor   es 6.

¿Cuándo será necesario presentar una ecuación?. 

¿Qué significado tiene x en estás expresiones.   x + 10 = 123    y    x + 10 = y?.

¿Qué deben tener disponibles los alumnos para resolver ecuaciones?.

Los conceptos de igualdad y desigualdad. Y el empleo correcto de los signos correspondientes.

"Todo signo está mentalmente vinculado con una idea. Esta idea es el significado del signo, si ella, éste es vacío y sin sentido",

"Para conseguir la conexión entre el significado y el significante, se necesita un grado de abstracción importante".

El concepto de variable.

¿Cómo resolver una ecuación?.

Podemos pensar a la igualdad como el equilibrio en una balanza.

Las expresiones.    9 - 4  = 5                  8 + 1 =  9  indican una equivalencia.

Dada la igualdad        9 + 3  = 12

Si sumamos 2 al primer miembro :    

Habrá que sumar  2 al segundo miembro para que el equilibrio se mantenga.

9 + 3 + 2 = 12 + 2

Cualquier modificación que se realice en el primer miembro debe ser hecha en el segundo. ( Propiedad uniforme).

8  +  7  =   15

8        +  7 - 3 =  15 - 3

De igual forma:    x  + 6 = 24

X + 6 - 6 = 24 - 6

X  + 0      = 18

X   =  18

Nota. El signo igual está constituido por dos líneas horizontales y paralelas (=). 

Fue utilizado por primera vez en 1557 por el médico inglés , Robert Recorde.

La letra x  se utiliza para indicar una incógnita. El matemático Al - Joarizmi (s. IX) designó a la incógnita con el nombre de  xai, que en árabe significa "cosa". Cómo la inicial es x, luego, para abreviar, se utilizó la letra x. (No necesariamente debe usarse siempre esta letra).

Recordemos que la x puede ser una variable o una incógnita.

Ejemplo

5 (x - 8) = 2 (x - 1)

1) 5x – 40 = 2x – 2Propiedad distributiva
2) 5x – 40 + 40 – 2x = 2x –x – 2x + 40   Propiedad conmutativa
3) 5x – 2x – 40 + 40 = 2x –2x – 2 + 40   Propiedad uniforme
4)                3x  + 0   = 0 + 38   Propiedad elemento inverso /sustracción/
5)                3x   = 38                Propiedad elemento neutro
6)                  3x : 3   =  38 : 3Propiedad uniforme
7)                        x     = 38/3       Propiedad cancelativa / División

Bibliografía

A, .Palacios, A Alvarez, O, Argerami: Biografía de  las palabras. Ed. Magisterio del Río de la Pla

Gabrielli, M. Caminantes - Matemática 6  EGB . Ed. Eudeba