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¿Proporcionalidad o regla de tres?.

Página destinada a presentar conceptos, errores de enseñanza, actividades, sobre funciones de Proporcionalidad Directa e Inversa. Aplicables a la enseñanza primaria , EGB y media.

¿Qué es una relación de proporcionalidad?'

Una relación de proporcionalidad es una relación entre dos variables en las que el cociente entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo y se denomina cociente de proporcionalidad

¿Qué significa que el cociente entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo?.

Ejemplo: Sabiendo que los paquetes de caramelos cuestan lo mismo.

2 paquetes de caramelos cuestan $6
5 paquetes de caramelos cuestan $15
4 paquetes de caramelos cuestan $12

6 dividido 2 ,; 15 dividido 5 ,12 dividido 4, siempre es igual a 3 que, este ejemplo, es el costo de 1 paquete de caramelo.

¿Qué es la regla de tres?

Problemas en los cuáles se conocen tres datos y se busca un cuarto.

Errores en la enseñanza

¿Es un método?.

Ejemplo 1

Si en 2 paquetes de caramelos hay 20 caramelos, ¿cuántos caramelos habrá en 4 paquetes.?

Es tentador decir que habrá 40 caramelos.

Pero, ¿en algún momento se aclara que todos los paquetes tienen la misma cantidad de caramelos?.

Para reconocer las relación de proporcionalidad, muchas veces, se dice “a más, más”, “ a menos , menos” Luego es directa

“Regla” no verdadera, pues esto hará que todas las relaciones crecientes sean relaciones e proporcionalidad directa.

Ejemplo 2

Si un niño a los 8 (ocho) meses tiene 4 dientes. ¿Cuántos dientes tendrá a los 10 años?.

Según la regla anterior tendrá 60 dientes. ¿Es cierto?. Acaso a más meses de edad , ¿no tendrá más dientes?.

Conclusiones:

  • Es importante analizar la condición del problema o se cuál es la constante.
  • Habrá que hacer una lectura comprensiva y atenta del enunciado.
  • Si la condición no esta dada, nada podremos decir de la relación.

Analizando la condición en varios ejemplos

1. Si en 2 paquete de figuritas hay 10 figuritas cuántas figuritas habrá en  7 paquetes, sabiendo que en todos los paquetes hay la misma cantidad?.

2. Si un planta crece en tres días 4 cm. ¿cuánto crecerá en 6 días?:

3. Un auto recorre 120 km y tarda 2 horas. ¿cuánto tardará en recorrer 270 km, si mantiene la misma velocidad?.

4. El lado de un cuadrado mide 3 cm, ¿cuánto mide su perímetro?.¿Y si el lado mide 5 cm?. ¿Y si mide 7,5 cm?.

En el problema 2. podemos observar que no existe relación de proporcionalidad, ¿ es posible que las plantas crezcan lo mismo todos los días?.

En el problema 3, está aclarado que el auto '''mantiene la misma velocidad''', de lo contrario no sería posible responder.

En las situaciones cotidianas, no existe ninguna relación de proporcionalidad, ya que están sujetas a sucesos imprevistos. Nosotros le imponemos condiciones para que funcionen como relaciones de proporcionalidad.

El problema 4. Es un problema que indica una relación de proporcionalidad directa, pues el cuadrado siempre tendrá cuatro lados y su perímetro dependerá de él.

¿Cómo resolvemos problemas de “regla de tres”?.

El siguiente problema:

Si dos paquetes de caramelos tienen 20 caramelos, cuántos caramelos habrá en 4 paquetes, sabiendo que todos los paquetes tiene la misma cantidad de caramelos.

2 p ............ 20 c
4 p..............  ?

Es común escuchar a los alumnos decir: “tenés que hacer 4 por 20 dividido 2”. La famosa “regla de tres” .

Para poder entender esto veamos la propiedades de las magnitudes directamente proporcionales.

'''1era. Propiedad''' Si un elemento de la primera magnitud es multiplicado o dividido por un número, el elemento correspondiente quedará multiplicado o dividido por ese mismo número.

En el ejemplo podemos observar que 4 paquetes es el doble de 2 paquetes., luego contendrá el doble de caramelos. Si quisiéramos saber cuantos caramelos habrá en 6 paquetes. 6 paquetes es el triple de 2 paquetes, luego contendrá el triple de caramelos.

Si la cantidad de paquetes fuera 7. Como en cada paquete. Hay 10 caramelos., en 7 paquetes habrá 70 caramelos.

Veamos otro problema:

Cantidad de pescado en kg.  .....3/4 ..............1/4...........  ½..........
Precio en $                                ..........................2,70 .......           .............31,60

¿Cuál es la forma más sencilla de resolverlo?. Pensamos a ¾ como 3 veces ¼, luego el precio será 3 x 2,70 = 8,10

½ puede ser pensado como el doble de ¼ , luego 2 x 2,70 = 5,40

Para calcular: ¿cuántos kg de pescado se puede comprar con $21,60.-

Se puede pensar que 4 veces $2,70 equivale a $10,80 (costo de 1 kg) , luego 21,60 es el doble de 10,80. se pueden comprar 2 kg de pescado.

O también que 21,60 es 8 veces 2,70, luego 8 veces ¼ equivalen a 2 kg.

Conclusión:

  • Existen distintas formas de resolver un problema.
  • Cada problema permite poner en juego alguna estrategia diferente.
  • Cada problema permite emplear alguna propiedad de las relaciones de proporcionalidad.
  • Cada persona, que resuelve un problema, puede emplear la estrategia que le resulte más accesible y más comprensible.

¿Por qué limitar el trabajo a una sola forma?.

'''2da. Propiedad''' a la suma de los elementos de una de las variables, le corresponde la suma de los correspondientes de los elementos considerados.

Para hacer un postre para 4 personas se necesitan 300 g de harina, 150 g de azúcar, 2 huevos y 200 g de manteca.

¿Qué cantidad de ingredientes se necesitan para preparar el postre para 6 personas, considerando que comerán aproximadamente la misma cantidad ?.

                       4 personas             2 personas         6 personas
harina (g) .......300....................150...................450
azúcar (g).......150...................  75...................225
huevos ............. 2 .....................  1.................... 3
manteca(g) .....200 .................. 100................300

Podemos pensar el problema para 2 personas, la mitad de cada ingrediente. Luego sumar las cantidades correspondientes y obtener las cantidades necesarias para 6 personas.

Aquí ponemos en juego otra propiedad de la proporcionalidad directa. La suma de dos o más cantidades de la primera magnitud se corresponde con la suma de las cantidades correspondiente en la segunda magnitud.

Esta propiedad es reconocida en forma intuitiva, por los niños, en 2do y 3er año de la EGB1. Al completar la tabla pitagórica, indican: “si sumas la tabla del 2 y la tabla del 3, tenes la tabla del 5”.

Ejemplo:

1 x 2 = 2.....   1 x 3 = 3.....   1 x 5 = 5
2 x 2 = 4....      2 x 3 = 6.....     2 x 5 = 10
3 x 2 = 6.....   3 x 3 = 9.....   3 x 5 = 15

Estas y otras conclusiones nos permitirán avanzar en la comprensión, no sólo de las relaciones multiplicativas, sino también en las de la proporcionaldiad.

Por supuesto, no pueden visualizarlo desde la forma simbólica anterior. Pero, si pueden emplearlo en distintas situaciones.

'''3era. Propiedad.''' La razón entre dos cantidades de una de las magnitudes es igual a la razón entre las cantidades correspondientes en la otra magnitud.

Retomemos el problema de los caramelos.

2 p ............ 20 c
4 p..............  ?

“tenés que hacer 4 por 20 dividido 2”. ¿Por qué?. Lo que estamos diciendo es que: la razón entre 2 y 4 es igual a la razón entre 20 y la cantidad a calcular.

De otra forma: la relación que existe entre 2 y 4 paquetes, es la misma que la que existe entre la 20 y “x” cantidad de caramelos.

2/ 4 = 20/ x

Por lo tanto 2 x X = 20 x 4, el valor de X = 40

Las cuatro cantidades forman proporción. Y en toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Errores de enseñanza 2

Volvemos a esa idea de que “ si una aumenta” , la otra “también aumenta”. Haciendo referencia a las magnitudes en juego.

Esto no es cierto pues las funciones lineales cumplen con esta condición y no todas son funciones de proporcionalidad.

Ejemplos:

El costo de  la corriente eléctrica. Si bien es cierto que a mayor consumo, mayor es el costo del mismo, si no consumimos nada, igualmente pagamos el abono.

Y si un bimestre, consumimos 50 kw y pagamos $90, no significa que al consumir el doble paguemos el doble.

Por otra parte, si tenemos en cuenta la siguiente función, dada por la fórmula y = - 2

Función de proporcionalidad directa, al ser la constante negativa, provocará que al aumentar una magnitud la otra disminuya.

Proporcionalidad inversa

Una relación de proporcionalidad inversa es una relación entre dos variables en las que el producto entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo.

Veamos algún problema que se resuelven en la escuela:

  1. Para una misma pieza de cinta.

Si se cortan 5 trozos de igual longitud, cada trozo mide 24 cm ¿cuál será la longitud de cada trozo si se cortan 10 ?.
Y si se cortan 12 ¿. Y si cada trozo mide 6 cm, ¿cuántos trozos se podrán cortar?.

Para resolverlo, ¿cuál es la condición (constante) que permite el cálculo?. Que indique que es para la misma pieza de cinta., es decir la longitud es iguala a 120 cm. Luego si se cortan 10 trozos, cada uno medirá 12 cm.
Calcule Usted los restantes.

  1. Para preparar el decorado para la feria de ciencias de la escuela, se ha designado a 6 alumnos. Se estima que tardarán 4 días en terminarla. Pero, por distintos cambos en las actividades escolares, se necesita que esté lista en 4 días. ¿cuántos alumnos más se necesitarán?.

Es indudable que se necesitarán más, pero resolverlo como un problema de proporcionalidad inversa, habrá que suponer que todos los alumnos trabajan de la misma forma y al mismo tiempo.,de lo contrario no habrá condición que permita el cálculo..

¿Tiene sentido este tipo de problema?.

Otros contextos de trabajo mejoran la comprensión.

'> ''1era. Propiedad''' Si un elemento de la primera magnitud es multiplicado o dividido por un número, el elemento correspondiente quedará dividido o multiplicado por ese mismo número.

Un contexto de trabajo puede ser el cálculo de la base o la altura de distintos rectángulos de igual área.

Ejemplo:

completa con la base o la altura, sabiendo que él área del rectángulo es iguala 36 cm2

Base        altura  
3 cm        12 cm
9 cm        4 cm

18 cm 13 cm

Podemos observar que al triple de la longitud de la base, le corresponde la tercera parte de la longitud de la altura.

¿Cuál será la medida de la longitud de la altura si la base mide 18 cm?.

¿Y si la altura midiera 6 cm?:

Expresa en dm la longitud de un pieza de tela que mide 4 m.

4 m = ......dm

Si se emplea una unidad de medida , dm, que es la décima parte del metro., entonces la medida (el número), será diez veces mayor que 4.

Luego

4 m = 40 dm

Esta relación entre la medida (el número) y la unidad , no es tenida en cuenta , en general, en las aulas. La enseñanza se limita a ir “ hacia la derecha o izquierda” , “correr la coma”, dejando de lado aspectos tan importantes como el indicado.

'''3era. Propiedad'''. La razón entre dos cantidades de una de las magnitudes es igual a la inversa de la razón entre las cantidades correspondientes en la otra magnitud.

Resolvamos el problema de la base y altura del rectángulo empleando esta propiedad.

3/ 13 = x/ 12

Luego: 3 x 12= 13 x X , el valor de X = 2,76 aproximadamente.